Ответы ВсОШ по математике 8 класс, Московская область (50 регион), 7 ноября 2026: муниципальный этап — задания и решения
Муниципальный этап ВсОШ по математике, 8 класс, Московская область — 7 ноября 2026 года, начало в 10:00. 235 минут на 5 задач. У восьмиклассников появляются доказательства с формулами сокращённого умножения и принцип Дирихле.
Что спрашивают
- Делимость выражений
- Формулы сокращённого умножения
- Принцип Дирихле
- Углы треугольника
Разбор заданий с ответами
Задание 1
Докажите, что n³ − n делится на 6 при любом натуральном n.
Показать решение и ответ
Решение. Это произведение трёх последовательных чисел: среди них есть чётное и кратное трём, значит, оно делится на 6.
Ответ: n³ − n = (n − 1)n(n + 1).
Задание 2
Найдите a² + b², если a + b = 7 и ab = 10.
Показать решение и ответ
Решение. a² + b² = (a + b)² − 2ab = 49 − 20 = 29. Сами числа (2 и 5) находить не нужно.
Ответ: 29.
Задание 3
В классе 30 учеников. Докажите, что хотя бы трое родились в одном месяце.
Показать решение и ответ
Решение. Если бы в каждом месяце родилось не больше двоих, учеников было бы не больше 12 · 2 = 24 < 30. Противоречие.
Ответ: По принципу Дирихле.
Задание 4
В равнобедренном треугольнике угол при вершине 40°. Найдите углы при основании.
Показать решение и ответ
Решение. (180° − 40°) / 2 = 70°. Если бы 40° был углом при основании, ответ был бы другим — читайте условие.
Ответ: По 70°.
Задание 5
Сократите дробь (x² − 9) / (x² + 3x).
Показать решение и ответ
Решение. Числитель — (x − 3)(x + 3), знаменатель — x(x + 3). Сокращаем на x + 3 и сохраняем ограничения.
Ответ: (x − 3) / x при x ≠ 0, x ≠ −3.
Где теряют баллы
- Дирихле. Пишут «очевидно» вместо явного подсчёта «кроликов» и «клеток».
- Ограничения. После сокращения дроби теряют условие x ≠ −3.
Дата и время
8 класс, Московская область: 7 ноября 2026 года, начало в 10:00. Кабинет и точное время для вашей школы подтверждает учитель — площадки назначает район.
Как готовиться, если до тура вечер
- Вечером решите задачи этой страницы для 8 класса и запишите каждое решение полностью, как на туре.
- Повторите приём «докажи от противного» и принцип Дирихле.
- Возьмите черновик, циркуль и линейку; калькулятор не понадобится — он запрещён.
- На туре сначала прочитайте все пять задач и начните с той, где видите идею.
Частые вопросы
Когда муниципальный этап по математике в 8 классе, Московская область?
7 ноября 2026 года, начало в 10:00 по графику Министерства образования Московской области; 7–11 классы пишут 235 минут, 5–6 классы — 180 минут.
Можно ли пользоваться калькулятором?
Нет: на олимпиаде по математике калькулятор и справочники запрещены.
Другие классы этой олимпиады
7 класс · 9 класс · 10 класс · 11 класс. Вся работа — муниципальный этап по математике, Московская область; все предметы региона — расписание этапа; задания без региона — олимпиада по математике, 8 класс.
Работы рядом
Этот регион — ближайшие работы:
- 12 ноября — МХК
- 13 ноября — Биология
- 14 ноября — Обществознание
Математика в других регионах в эти дни:
- 10 ноября — Вологодская область