ВсОШ по математике, школьный этап 2025/26, 9 класс: реальные задачи и разбор

Ниже разобраны реальные задания школьного этапа ВсОШ по математике для 9 класса за 2025/26 учебный год — из открытого архива Центра педагогического мастерства.

Задача 1. Смесь красок

Есть 70 литров смеси: 20 % красной, 35 % зелёной, 45 % синей. Сколько красной и зелёной нужно добавить, чтобы стало 25 % красной, 40 % зелёной и 35 % синей? Синюю не добавляют.

Ключ к решению. Синюю краску не добавляют, значит её объём не меняется — это и есть опора. Считаем его: 45 % от 70 = 31,5 литра.

В новой смеси синяя составляет 35 %, и те же 31,5 литра теперь равны 35 % целого. Значит новый объём: 31,5 : 0,35 = 90 литров. Добавили всего 20 литров.

Дальше находим, сколько каждой: красной было 14 литров, стало 25 % от 90 = 22,5, значит долили 8,5. Зелёной было 24,5, стало 36, долили 11,5. Проверка: 8,5 + 11,5 = 20. Сошлось.

Общий приём: в задачах на смеси ищите компонент, количество которого не меняется. Через него находится новый объём, а остальное считается вычитанием.

Задача 4. Разбить числа на группы

Числа 3, 7, 10, 16, 23 и 31 разбили на три пары: в первой только простые, во второй сумма делится на 3, в третьей сумма больше половины общей.

Как рассуждать. Начинайте с самого жёсткого условия. Простых среди данных чисел четыре: 3, 7, 23 и 31 — но в первой паре их ровно два, значит выбор ограничен.

Второе условие проверяется по остаткам при делении на 3: у чисел 3, 7, 10, 16, 23, 31 остатки равны 0, 1, 1, 1, 2, 1. Сумма пары делится на 3, если остатки дают в сумме 0 или 3 — то есть либо оба нуля, либо 1 и 2. Ноль здесь один, значит вторая пара обязательно содержит 23 и одно из чисел с остатком 1.

Дальше перебор становится совсем коротким, а третье условие отсеивает оставшиеся варианты.

Правило: в задачах на разбиение сначала выпишите остатки. Они сокращают перебор в разы.

Задача 5. Две окружности на гипотенузе

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C окружность с центром A через точку C пересекает гипотенузу в E, окружность с центром B через C — в точке D. Найдите ED, если AD = 16, BE = 50. Ответ: 40.

Как рассуждать. Радиусы дают равенства: AE = AC (обе — радиусы первой окружности), BD = BC (радиусы второй).

Обозначьте ED = x. Тогда AC = AE = AD + x = 16 + x, а BC = BD = BE + x = 50 + x. Гипотенуза AB = AD + x + BE = 66 + x.

Остаётся теорема Пифагора: (16 + x)² + (50 + x)² = (66 + x)². Раскрыв скобки, получаем квадратное уравнение, положительный корень которого и равен 40.

Вся задача — в том, чтобы заметить: радиус, проведённый в точку окружности, равен радиусу, проведённому в вершину C. Дальше всё выражается через один отрезок.

Что готовить к девятому классу

Опорные темы варианта: смеси и проценты через неизменный компонент, остатки при делении, окружности и теорема Пифагора, магические квадраты и турнирные схемы на выбывание. Последние решаются подсчётом общего числа игр, а не перебором сеток.

Полные варианты с решениями по всем классам — в открытом архиве заданий ЦПМ.

Другие классы прошлого года

• 4 класс
• 5 класс
• 6 класс
• 7 класс
• 8 класс
• 10 класс
• 11 класс

Расписание и разборы текущего года — ВсОШ по математике на Сириусе, 13–16 октября 2026.