ВсОШ по математике, школьный этап 2025/26, 8 класс: реальные задачи и разбор

Ниже разобраны реальные задания школьного этапа ВсОШ по математике для 8 класса за 2025/26 учебный год — из открытого архива Центра педагогического мастерства.

Задача 1. Аля и Валя на прогулке

Аля шла в полтора раза быстрее подруги и прошла вдвое большее расстояние. Прогулка Али заняла на 40 минут больше. Сколько времени гуляла Аля?

Решение. Пусть скорость Вали равна v, расстояние — s. Тогда у Вали время s/v. У Али скорость 1,5v, расстояние 2s, время 2s / 1,5v = (4/3)·(s/v).

Разность времён: (4/3)(s/v) − s/v = (1/3)(s/v) = 40 минут. Значит s/v = 120 минут — столько гуляла Валя. У Али: (4/3) × 120 = 160 минут, то есть 2 часа 40 минут.

Ключ к задаче — не вводить четыре неизвестных, а выразить всё через одну комбинацию s/v. Она и есть искомое время, а конкретные скорость и расстояние не нужны вовсе.

Задача 3. Высота и биссектриса

В треугольнике ABC угол B равен 134°, а высота из вершины A вдвое меньше биссектрисы того же угла A. Найдите угол C. Ответ: 14°.

Как рассуждать. Проведите из A высоту AH и биссектрису AL. В прямоугольном треугольнике AHL катет AH вдвое меньше гипотенузы AL — а это значит, что угол ALH равен 30°. Катет, вдвое меньший гипотенузы, всегда лежит против угла в 30 градусов.

Дальше считается по сумме углов: угол ALH — внешний для треугольника ALC, он равен сумме углов C и LAC, то есть C плюс половина угла A. Вместе с условием, что сумма всех углов равна 180°, а угол B известен, система решается однозначно.

Приём «катет вдвое меньше гипотенузы — значит 30 градусов» стоит довести до автоматизма: на нём строится множество задач школьного и муниципального этапов.

Задача 6. Три прямые в одной точке

Прямые y = ax + 2, y = bx + 5 и y = cx + 8 пересекаются в одной точке. Найдите b, если a + c = 67. Ответ: 33,5.

Как рассуждать. Пусть общая точка имеет координаты (x₀; y₀). Тогда выполняются три равенства: y₀ = ax₀ + 2, y₀ = bx₀ + 5, y₀ = cx₀ + 8.

Сложим первое и третье: 2y₀ = (a + c)x₀ + 10. Удвоим второе: 2y₀ = 2bx₀ + 10. Правые части равны, десятки сокращаются, и остаётся (a + c)x₀ = 2bx₀.

Точка пересечения не лежит на оси ординат — иначе все три прямые прошли бы через одну точку оси, что при разных свободных членах невозможно. Значит на x₀ можно сократить: a + c = 2b, откуда b = 67 : 2 = 33,5.

Красота решения в том, что свободные члены 2, 5 и 8 образуют арифметическую прогрессию — именно поэтому они сокращаются, и координаты точки находить не требуется.

Что готовить к восьмому классу

Вариант держится на трёх опорах: текстовые задачи, решаемые через одну удачную переменную, геометрия с высотой, биссектрисой и углом в 30° и линейные функции с симметричными условиями. Плюс две-три задачи на логику и разрезание таблиц.

Полные варианты с решениями по всем классам — в открытом архиве заданий ЦПМ.

Другие классы прошлого года

• 4 класс
• 5 класс
• 6 класс
• 7 класс
• 9 класс
• 10 класс
• 11 класс

Расписание и разборы текущего года — ВсОШ по математике на Сириусе, 13–16 октября 2026.