ВсОШ по математике, школьный этап 2025/26, 11 класс: реальные задачи и разбор

Ниже разобраны реальные задания школьного этапа ВсОШ по математике для 11 класса за 2025/26 учебный год — из открытого архива Центра педагогического мастерства.

Задача 1. Арифметическая прогрессия

В прогрессии a₁ + a₂ = 9, а сумма первых восьми членов равна 108. Найдите первый член и разность. Ответ: a₁ = 3, d = 3.

Решение. Первое условие: a₁ + a₂ = 2a₁ + d = 9.

Сумма восьми членов: S₈ = 8a₁ + (1 + 2 + … + 7)d = 8a₁ + 28d = 108. Поделим на 4: 2a₁ + 7d = 27.

Вычтем первое уравнение из второго: 6d = 18, откуда d = 3. Тогда 2a₁ = 9 − 3 = 6 и a₁ = 3.

Что здесь важно: не подставлять формулу суммы вслепую, а привести оба условия к виду «2a₁ плюс что-то на d». Тогда вычитание убирает a₁ за один шаг.

Задача 4. Целые части квадратных корней

Найдите количество пар различных натуральных чисел a < b, не превосходящих 100, для которых ⌊√a⌋ + ⌈√b⌉ = ⌈√a⌉ + ⌊√b⌋. Ответ: 4050.

Решение. Перенесём слагаемые так, чтобы каждое число оказалось со своим корнем:

⌈√b⌉ − ⌊√b⌋ = ⌈√a⌉ − ⌊√a⌋.

Теперь посмотрим, чему вообще может равняться такая разность. Если число — точный квадрат, его корень целый, верхняя и нижняя целые части совпадают, и разность равна 0. Во всех остальных случаях корень нецелый, и разность равна 1.

Значит условие означает одно: a и b либо оба точные квадраты, либо оба нет.

От 1 до 100 точных квадратов ровно десять — от 1 до 100. Выбрать два из них можно 10 × 9 : 2 = 45 способами. Остальных чисел 90, и пар из них 90 × 89 : 2 = 4005.

Итого 45 + 4005 = 4050.

Задача выглядит устрашающе из-за скобок, но вся она — в одном наблюдении: разность верхней и нижней целой части принимает всего два значения.

Задача 3. Вписанный четырёхугольник

Геометрическая задача про вписанный четырёхугольник ABCD с точками пересечения продолжений сторон. Даны равенство CD = DE, угол при одной из точек пересечения и отношение дуг.

Опорные факты, на которых она решается: угол между двумя секущими, проведёнными из точки вне окружности, равен полуразности дуг, которые он высекает; вписанный угол равен половине дуги; в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Задача разбита на пункты с разной ценой — 4 балла за первый. Это значит, что частичное решение здесь оплачивается, и браться за неё стоит, даже если виден только первый шаг.

Что готовить к одиннадцатому классу

Вариант держится на четырёх темах: прогрессии, вероятность и комбинаторика, окружности и углы между секущими, целые части и делимость. Задачи на последнюю тему выглядят самыми сложными, а решаются, как правило, одним наблюдением.

Общий совет для выпускного класса: прежде чем считать, потратьте минуту на поиск переформулировки. В задаче про корни она сокращает работу с перебора ста чисел до двух арифметических действий.

Полные варианты с решениями по всем классам — в открытом архиве заданий ЦПМ.

Другие классы прошлого года

• 4 класс
• 5 класс
• 6 класс
• 7 класс
• 8 класс
• 9 класс
• 10 класс

Расписание и разборы текущего года — ВсОШ по математике на Сириусе, 13–16 октября 2026.