ВсОШ по математике, школьный этап 2025/26, 10 класс: реальные задачи и разбор

Ниже разобраны реальные задания школьного этапа ВсОШ по математике для 10 класса за 2025/26 учебный год — из открытого архива Центра педагогического мастерства.

Задача 1. Стереть две последние цифры

Найдите наибольшее натуральное n > 100 такое, что при стирании двух последних цифр оно уменьшается ровно в 112 раз. Ответ: 896.

Решение. Пусть после стирания осталось число x, а стёртые две цифры образуют число y от 0 до 99. Тогда n = 100x + y, и по условию n = 112x.

Приравниваем: 100x + y = 112x, откуда y = 12x.

Так как y не больше 99, получаем 12x ≤ 99, то есть x ≤ 8. Наибольшее значение x = 8 даёт y = 96 и n = 896.

Проверка: 896 : 112 = 8, и после стирания «96» остаётся именно 8. Вся задача — в переводе фразы «стереть две цифры» в запись 100x + y.

Задача 2. Рукопожатия танцевальных пар

Каждый участник пожал руку всем, кроме себя и своего партнёра. Всего 20 200 рукопожатий. Сколько было пар? Ответ: 101 пара.

Решение. Пусть пар n, тогда людей 2n. Каждый жмёт руку 2n − 2 участникам. Произведение 2n(2n − 2) считает каждое рукопожатие дважды, поэтому делим пополам:

количество рукопожатий = n(2n − 2) = 2n(n − 1).

Приравниваем: 2n(n − 1) = 20 200, значит n(n − 1) = 10 100. Подбираем соседние числа с таким произведением: 101 × 100 = 10 100. Ответ — 101.

Где теряют балл: забывают разделить на два и получают уравнение вдвое больше. Проверка простая — при малом числе участников посчитайте рукопожатия руками и сверьте с формулой.

Задача 3. Последовательность с модулем

x₁ = 1000, каждый следующий член равен модулю разности предыдущего и семи. Найдите наименьшее n, при котором xₙ₊₂ = xₙ. Ответ: 143.

Как рассуждать. Пока член больше семи, модуль ничего не меняет, и последовательность просто убывает на 7 каждый шаг. Значит она идёт по числам, дающим при делении на 7 тот же остаток, что и 1000.

Остаток 1000 при делении на 7 равен 6, поэтому убывание останавливается на числе 6. Сколько шагов до него: (1000 − 6) : 7 = 142 шага, то есть x₁₄₃ = 6.

Дальше начинается цикл: |6 − 7| = 1, затем |1 − 7| = 6, снова 1, снова 6. Период равен двум, и первое n, при котором член повторяется через два шага, — 143.

Приём общий: в задачах с модулем разности ищите остаток от деления — он определяет, на каком числе оборвётся убывание и каким будет цикл.

Что готовить к десятому классу

Вариант опирается на работу с десятичной записью числа (представление вида 100x + y), подсчёт пар и рукопожатий, остатки и периодичность, а в геометрии — на описанные и вписанные четырёхугольники, где всё сводится к теореме Пифагора и свойствам углов.

Полные варианты с решениями по всем классам — в открытом архиве заданий ЦПМ.

Другие классы прошлого года

• 4 класс
• 5 класс
• 6 класс
• 7 класс
• 8 класс
• 9 класс
• 11 класс

Расписание и разборы текущего года — ВсОШ по математике на Сириусе, 13–16 октября 2026.