Вторая часть ОГЭ по математике: задания 20–25 с решениями

Вторая часть — задания 20–25, по 2 балла за каждое, всего 12. Задания 20–22 относятся к алгебре, 23–25 — к геометрии.

Кому она обязательно нужна

Максимум первой части — 19 баллов, а на оценку «5» требуется 22. Значит без второй части пятёрку получить нельзя: минимум три балла придётся взять из заданий 20–25.

Для профильного класса требования ещё жёстче: от 18–19 баллов, причём с высоким геометрическим минимумом — а он набирается как раз за счёт заданий 23–25.

Как оценивают

• 2 балла — решение верное, ход обоснован, ответ правильный.
• 1 балл — ход решения верный, но допущена вычислительная ошибка, не исказившая суть.
• 0 баллов — во всех остальных случаях, в том числе когда записан только ответ.

Последнее — главное отличие от первой части. Верный ответ без решения здесь не стоит ничего.

Три задания с полными решениями

Задание 20. Неравенство

Решите неравенство x² − 5x + 6 ≤ 0. Ответ: x ∈ [2; 3].

Решение. Находим корни квадратного трёхчлена: x² − 5x + 6 = 0.

Дискриминант: D = 25 − 24 = 1, корень из него равен 1.

x₁ = (5 − 1) ÷ 2 = 2, x₂ = (5 + 1) ÷ 2 = 3.

Ветви параболы направлены вверх (коэффициент при x² положительный), значит выражение принимает неположительные значения между корнями.

Знак «≤» означает, что концы включаются — скобки квадратные. При строгом «<» были бы круглые.

Задание 21. Текстовая задача

Первый рабочий выполняет заказ за 12 часов, второй — за 24. За сколько часов они выполнят заказ, работая вместе? Ответ: 8 часов.

Решение. Примем весь заказ за единицу. Тогда производительность — это доля работы за час.

Первый: 1/12 заказа в час. Второй: 1/24.

Вместе: 1/12 + 1/24 = 2/24 + 1/24 = 3/24 = 1/8 заказа в час.

Значит на весь заказ уйдёт 1 ÷ (1/8) = 8 часов.

Проверка на здравый смысл: результат обязан быть меньше меньшего из сроков. Восемь меньше двенадцати — сходится. Если получилось больше, скорее всего сложили сами сроки вместо производительностей.

Задание 22. График функции

Постройте график функции y = (x² − 4)/(x − 2) и определите, при каком значении m прямая y = m не имеет с графиком общих точек. Ответ: m = 4.

Решение. Раскладываем числитель по формуле разности квадратов:

x² − 4 = (x − 2)(x + 2).

Сокращаем на (x − 2), но помним про область определения: знаменатель не равен нулю, значит x ≠ 2.

Получаем y = x + 2 при x ≠ 2. График — прямая y = x + 2 с выколотой точкой в (2; 4).

Горизонтальная прямая y = m пересекает наклонную прямую ровно в одной точке при любом m. Исключение — случай, когда эта точка как раз выколота: при m = 4.

Вся суть задания — заметить сокращение и не потерять выколотую точку. Без неё ответа нет вовсе.

Как оформлять, чтобы поставили два балла

• Записывайте ход, а не только вычисления. Короткая фраза «ветви вверх, значит выражение отрицательно между корнями» — это и есть обоснование.
• Область определения указывайте отдельной строкой там, где есть дробь или корень.
• Ответ выделяйте в конце словом «Ответ» — эксперт ищет именно его.
• Не стирайте промежуточные шаги. Если итог ошибочен, но ход верен, за него дают балл; без хода не дадут ничего.
• В геометрии обязательно делайте чертёж и подписывайте на нём данные из условия.

С чего начинать, если времени мало

Задания второй части не равны по сложности. Порядок по доступности обычно такой:

• 21 — текстовая задача. Решается по школьному алгоритму, без озарений.
• 20 — уравнение или неравенство. Чистая техника.
• 23 — геометрическое вычисление. Оно же закрывает геометрический минимум.
• 22, 24, 25 — дальше по остаточному времени.

Остальное по ОГЭ математике

• Структура работы, время и что разрешено
• Баллы, шкала оценок и порог в профильный класс
• Задания 1–5: практико-ориентированный блок
• Геометрия: задания 15–19 и 23–25
• Вторая часть: задания 20–25 с решениями