Геометрия на ОГЭ: задания 15–19 и 23–25 с решениями

Геометрия на ОГЭ — это задания 15–19 в первой части и 23–25 во второй. Блок небольшой, но от него напрямую зависит оценка.

Почему этот блок нельзя пропустить

Минимальный порог — 8 баллов, и не менее 2 из них должны быть геометрическими. Если по заданиям 15–19 и 23–25 набрано меньше двух баллов, выставляется «2» при любой общей сумме.

Поэтому стратегия такая: два задания из блока 15–19 закрываются в первую очередь, до всего остального. Обычно это задание на углы треугольника и задание на площадь четырёхугольника — самые предсказуемые в работе.

Что спрашивают в заданиях 15–19

• Треугольники — сумма углов, равнобедренный, теорема Пифагора, средняя линия.
• Окружность — вписанный и центральный углы, касательная, хорда.
• Четырёхугольники — площадь параллелограмма, трапеции, ромба.
• Координатная плоскость — расстояние между точками, середина отрезка.
• Верные утверждения — выбрать истинные из списка.

Пять задач с решениями

1. Углы треугольника

Два угла треугольника равны 40° и 70°. Найдите третий угол и определите вид треугольника.

Решение. Сумма углов треугольника равна 180°.

180° − 40° − 70° = 70°.

Два угла оказались равны по 70°, значит треугольник равнобедренный, и стороны, лежащие против равных углов, тоже равны.

2. Теорема Пифагора

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите гипотенузу и площадь.

Решение. Гипотенуза: c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, значит c = 10.

Площадь прямоугольного треугольника — половина произведения катетов: (6 · 8) ÷ 2 = 24.

Тройку 6–8–10 стоит запомнить: это удвоенная египетская тройка 3–4–5, и она встречается постоянно.

3. Вписанный угол

Центральный угол опирается на дугу в 80°. Найдите вписанный угол, опирающийся на ту же дугу.

Решение. Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу.

80° ÷ 2 = 40°.

Следствие, которое спрашивают отдельно: вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой — потому что центральный там развёрнутый, 180°.

4. Площадь трапеции

Основания трапеции равны 4 и 10, высота — 6. Найдите площадь.

Решение. Площадь трапеции — полусумма оснований, умноженная на высоту.

(4 + 10) ÷ 2 · 6 = 7 · 6 = 42.

Частая ошибка — сложить основания и умножить на высоту без деления пополам. Получится ровно вдвое больше.

5. Средняя линия

Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник. Основание исходного треугольника равно 12. Найдите среднюю линию.

Решение. Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

12 ÷ 2 = 6.

У трапеции правило другое: там средняя линия равна полусумме оснований. Эти два случая путают чаще всего.

Задание 24: доказательство

Докажите, что диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

Решение. Пусть ABCD — параллелограмм, AC — его диагональ. Рассмотрим треугольники ABC и CDA.

• AB = CD — противоположные стороны параллелограмма равны.
• BC = AD — по той же причине.
• AC — общая сторона.

Треугольники равны по трём сторонам, что и требовалось доказать.

В доказательствах балл ставят за ссылку на свойство, а не за вывод как таковой. Фраза «противоположные стороны параллелограмма равны» — это и есть то, за что засчитывают.

Формулы, которые нужно знать наизусть

• Сумма углов треугольника — 180°, четырёхугольника — 360°.
• Теорема Пифагора: c² = a² + b².
• Площади: треугольника — ½ah, параллелограмма — ah, трапеции — ((a+b)/2)·h.
• Вписанный угол — половина центрального; опирающийся на диаметр — прямой.
• Средняя линия треугольника — половина основания, трапеции — полусумма оснований.

Справочные материалы на экзамене выдают, но времени на поиск формулы в них уходит больше, чем на само решение.

Остальное по ОГЭ математике

• Структура работы, время и что разрешено
• Баллы, шкала оценок и порог в профильный класс
• Задания 1–5: практико-ориентированный блок
• Геометрия: задания 15–19 и 23–25
• Вторая часть: задания 20–25 с решениями